Instructions pour l'enseignant : Fractales - Ensembles de Mandelbrot et de Julia
Bien qu'il existe de nombreux sites Web qui mentionnent ou permettent de construire les
ensembles de Mandelbrot et de Julia dans toute leur beauté et complexité, cet applet
rapide et polyvalent permet à tous
les élèves de comprendre les connexions et relations entre ces ensembles.
L'approche la plus commune de l'exploration des ensembles de Mandelbrot et de Julia est tout simplement d'observer, d'expérimenter et de s'émerveiller de leur beauté
et complexité.
Les élèves qui ont appris à manier des nombres complexes ont beaucoup plus
d'options. La construction de tous ces ensembles dépend de l'application répétée (itération)
d'une simple fonction, f(x) = x2
+ c, où x et c sont des nombres complexes. Avec certains choix
de x et de c, les valeurs d'itération approchent 0; avec d'autres,
ces valeurs peuvent osciller de façon extravagante ou aller vers l'infini ;
avec d'autres encore, les valeurs demeurent à une distance fixe de l'origine.
Lorsque c est un nombre complexe fixe, l'ensemble des valeurs x
qui ne se dirigent pas vers 0 ou l'infini forment l'ensemble de Julia de ce
nombre c.
L'ensemble de Mandelbrot M qui s'affiche dans la fenêtre de gauche, lorsque l'applet s'ouvre, est apparenté à l'itération de la même
fonction qui définit tous les ensembles de Julia. La définition la plus simple
est sans doute que M comprend tous les nombres complexes de c pour
lesquels l'itération de
f(x) = x2 + c, commençant à 0, ne va
pas à l'infini. Étant donné que f(0) = c, la séquence qui nous
intéresse commence par c, c2 + c, (c2 + c)2
+ c, ... . Chose étonnante, l'ensemble de Mandelbrot est défini par une
autre propriété qui s'exprime en ensembles de Julia : M comprend tous les
nombres complexes de c auxquels l'ensemble de Julia correspondant est connecté.
La nature fractale des ensembles de Mandelbrot et de Julia dérive du fait que
leur comportement dépend beaucoup de leur point de départ. L'itération de la fonction
d'un ensemble avec deux nombres différents peut donner des résultats complètement différents,
même si ces deux nombres sont en fait très proches. Ceci signifie que la structure
de ces ensembles retient sa beauté et sa complexité quelle que soit la puissance
du microscope avec lequel nous les examinons. Pour illustrer ceci, le programme
est doté d'une fonction d'agrandissement (zoom) avec laquelle nous pouvons
agrandir une partie de l'image d'origine par un facteur de plusieurs millions.
Dans la fenêtre d'origine d'un ensemble, placez le curseur sur un point
quelconque, puis cliquez en maintenant le bouton de la souris enfoncé, faites
ensuite glisser le curseur pour enfermer une partie de l'ensemble dans un petit carré.
Lorsque vous relâchez le bouton de la souris, la partie de l'ensemble de Mandelbrot
ou de Julia comprise dans le carré occupe maintenant toute la fenêtre de
droite. Vous pouvez continuer en sélectionnant une partie de la fenêtre de
droite qui sera alors agrandie dans la fenêtre de gauche. Après chaque opération, un
message sous la fenêtre de droite indique le facteur de grossissement par
rapport à l'image d'origine.
Sélectionner l'option
permet à l'utilisateur de déplacer le signe plus (+) du panneau de contrôle, sur la
droite des boutons, et ainsi de choisir un nombre
complexe pour c. Lorsque vous relâchez le bouton de la souris,
l'ensemble de Julia correspondant à la valeur de c est dessiné dans la
fenêtre de gauche et la fonction d'agrandissement devient disponible.
L'une des caractéristiques les plus frappantes des ensembles de Julia est leur « autosimilarité ».En choisissant soigneusement le contenu du carré
d'agrandissement, il est possible de voir que, une fois agrandie dans la
deuxième fenêtre, la région du petit carré ressemble exactement à l'image de la
première fenêtre.
Pour beaucoup d'élèves, les ensembles de Julia les plus intéressants sont ceux qui correspondent à des points proches de la limite de l'ensemble de Mandelbrot. Par conséquent, en sélectionnant le bouton vous pouvez choisir un point correspondant à un ensemble de Julia, mais en même temps voir où ce point est situé par rapport à l'ensemble de Mandelbrot. Nous conseillons aux élèves d'examiner plusieurs ensembles de Julia correspondant à des points proches de la limite de l'ensemble de Mandelbrot afin d'observer lorsqu'ils passent de l'état connecté (à l'intérieur de M) à l'état déconnecté (à l'extérieur de M).