教师讯息： 帕斯卡三角形

很少有数字构造像帕斯卡三角形的二项式系数这样产生了如此多不同的引伸或在多层面激发问题方面如此丰富。 这个数字排列确实是由帕斯卡来研究的， 但是它的属性和某些部分早在几百年前已经被巴比伦人和中国人所熟知。

按照惯例， 帕斯卡三角形结合二项式展开式的概念出现在代数和微积分预备课程中， 而且它也是组合数学， 数字理论， 和概率课程中的关键课题。 然而对这个课题的接触不需要一定要等着正式的教授。 一些迷人的模式设计已经为求知欲强的学生或班级提供了丰富的机会来进行探究。

计数的经验（多少条路径， 由固定数量的饼上面的配料口味可以组合成多少种不同的比萨饼组合， 等等）可以自然地引导出前几行中的系数。 实际上， 当一个单元格被点击后， "组合"符号表示法会显示在颜色调色板旁边， 它可以被理解为： "4C2表示的是如果一次从4个物体中取出2个， 会有多少种组合方法。" 即在四个一组的物体中存在有多少不同的对。 学生们应该用实物演示从四个一组的物体中组对的可能， 并观察到会有六对可能的组合。 4C2项还表示它的"位置"是第四行中的第二列的那个单元格， 其中行数和列数都是从0开始计数。 这样在第二行中， 关于组合， 从两个一组的物体中， 将只有一种方法选择0个物体（2C0=1）， 有两种方法取出1个物体（2C1=2）， 并且有一种方法取出2个物体（2C2=1）， 所以第二行中单元格中的数是： 1 2 1。

帕斯卡三角形的关键属性是可辨别的：　每一行外侧的单元格总是１；　每一行都是对称的，　左边和右边的数是一样的； 　两个相邻单元格的数字之和是它们正下方的下一行中那个单元格中的值（比如说，　在第六行中6和15相邻，　而6＋15＝21在第七行）。

为了面对挑战的乐趣，　或以更多的复杂代数知识来求证，　学生们可以去对几乎无止尽的问题进行探究。　使用这个模拟操作下方的那些单选选项， 　有哪些模式可以被辨别出来？　假设给出2，3，和4的倍数的模式，　那么5的倍数的模式是怎样的？　检验一下结果。　质数出现在有趣的位置上。 　它们总是只出现在边缘附近吗？　为什么？ 第五行中所有单元格中的数都是5的倍数吗？ 第七行中所有单元格中的数都是7的倍数吗？ 这个发现有什么启发？ 每一行中所有数的和都是多少？ 知道了每一行的数是怎样从上一行得来的， 如果一行中所有数的和是2的乘方（什么乘方？）， 这对下一行的各单元中所有数的和有怎样的暗示？ 从第二列读下来， 各单元格中的数是1， 2， 3， 4， ......, 只是按序排列的数。 在下一列各单元格中存在这样一个简单的公式1， 3， 6， 10， ......吗？ 数一数这些整数的和： 1， 1+2， 1+2+3， ......这些和出现在哪里？ 如果你沿着任何一列数加起来求和， 在三角形中这些和出现在哪里？ 如果你沿着正方形或立方体求的和呢？